Il frattale di Newton (di cui Newton non sapeva nulla)

Cristiano Sansò

Liceo Scientifico G. Peano Monterotondo, VM

Nota

Articolo scritto per il convegno Math++ del 12 Maggio 2023 all’Università Sapienza. Ispirato nell’argomento e nei contenuti dal video del canale 3Blue1Brown “From Newton’s method to Newton’s fractal (which Newton knew nothing about)”.

Abstract

Come può essere descritto un frattale nel modo più semplice possibile?

È sufficiente che una figura abbia una sola proprietà, la “ruvidità” in ogni suo punto.

Il dover rispettare questa bizzarra proprietà si rivela essere il motivo per il quale un metodo innocente come quello di Newton per trovare gli zeri di un polinomio cela al suo interno un frattale, o meglio, infiniti frattali diversi, e anche molti altri misteri.

Parole chiave: frattale, Newton, ruvido, figura, zeri di un polinomio

1. La “Ruvidità”

Si immagini di avere tre fogli di tre colori diversi e di disporli come in figura.

E di avere come obiettivo quello di costruire una figura in modo che il confine di ogni colore coincida con quello di tutti gli altri i colori. Quello che verrebbe naturale provare a fare è ritagliare piccoli pezzi di ogni colore e aggiungerli in mezzo al bordo degli altri due, come nella figura seguente.

Si noterà subito, tuttavia, come questo crei solo altri confini tra due colori soltanto, e si procederà quindi con il ritagliare pezzi ancora più piccoli di ogni colore per rimediare.

A questo punto, nonostante i punti in comune tra i 3 confini siano aumentati rispetto al singolo punto centrale della prima immagine, sarà facile notare che si dovrebbe continuare all’infinito con pezzetti sempre più piccoli per riuscire nell’intento di far coincidere completamente i 3 confini, in quanto, i soli punti che soddisfano la richiesta sono i punti d’incontro delle 3 diverse linee di confine, che però, per soddisfare anche queste linee la proprietà, dovrebbero essere formate anch’esse, a loro volta, da tutti punti che sono punto d’incontro di 3 linee, creando una situazione apparentemente paradossale.

La proprietà della figura (l’insieme dei punti del confine) che si sta cercando può essere informalmente e intuitivamente chiamata “ruvidità”, in quando tutti i punti di questo confine ideale sono raggiunti da esattamente 3 altri punti, rendendo impossibile alla figura ottenuta essere “liscia” in qualsiasi punto, indipendentemente da quanto si potrà mai ingrandire.

Un po’ più formalmente, si può esprimere questa proprietà con il fatto (piuttosto banale da ciò che si è appena detto) che la figura non ha una singola retta (o piano) tangente in nessun punto. In ogni caso, d’ora in avanti la proprietà verrà chiamata semplicemente ruvidità, e le figure con la proprietà, ruvide.

Nel particolare, i frattali spesso vengono descritti e presentati semplicemente come figure che presentano una proprietà di auto-similarità, ovvero che contengono loro stesse in dimensioni ridotte, una o più volte in ogni iterazione; tuttavia, un modo più semplice per visualizzarli e capirli può essere invece immaginare figure così come si è provato ad immaginare il confine dei fogli, ovvero figure che appaiono ruvide indipendentemente da quanto si ingrandisce.

2. Il Metodo di Newton

Trovare gli zeri, o radici, di un polinomio è uno dei problemi più antichi della matematica e uno dei più ricorrenti e fondamentali nei problemi che si affrontano al giorno d’oggi, in particolare nella grafica e nei programmi informatici, e nel corso dei secoli i matematici hanno ideato vari metodi per trovare questi zeri, e quello che sarà l’argomento centrale di questo articolo e che si ricollegherà ai frattali è il metodo di Newton.

Questo metodo consiste nello scegliere un valore ipotetico, una stima dello zero della funzione e di applicare ricorsivamente un algoritmo per ottenere stime sempre migliori del vero valore dello zero. Quindi, ad esempio, con la funzione x⁵+x²-x+0.2, partendo da una stima x₀ =1.3

Per provare ad avvicinarsi al valore dello zero si può notare come la retta tangente a P(x)nel punto x₀ interseca l’asse delle x in un punto più vicino allo zero della stima iniziale.

Perciò il problema diventa trovare il valore di quella nuova stima x₀ – ∆x. Notando che, essendosi formato un triangolo rettangolo, la tangente dell’angolo nel nuovo punto x₀ – ∆x(la pendenza) sarà uguale al rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente.

Spostando -Step=∆x al primo membro e Slope = tan α = P'(x) al secondo, si avrà

E di conseguenza, la nuova stima x_1 sarà

E questo processo si potrà ripetere un numero illimitato di volte per ottenere approssimazioni sempre migliori, ogni volta utilizzando la nuova stima ottenuta come stima iniziale

Con questo metodo ci si potrebbe però imbattere in alcuni problemi se la stima iniziale non è abbastanza vicina ad uno zero; infatti, il valore della successione x_n potrebbe iniziare ad oscillare diverse volte intorno a punti di massimo e minimo prima di avvicinarsi abbastanza ad uno zero da essere una buona approssimazione.

3. Il Metodo di Newton nel piano complesso

Nonostante non sia visualizzabile in modo intuitivo con le tangenti e i grafici come per i numeri reali, il metodo di Newton è perfettamente applicabile anche per trovare anche gli zeri complessi delle funzioni: la variabile z sarà rappresentabile da un punto nel piano e il valore della funzione in quel punto P(z)come un altro. Considerando perciò, allo stesso modo, una stima iniziale z₀ e il valore della funzione P(z₀) e la sua derivata in quel punto P'(z₀) , è possibile applicare il metodo di Newton con la stessa esatta formula ricorsiva.

4. Il Frattale di Newton

Questo modo di visualizzare l’algoritmo nel piano complesso permette di visualizzare meglio che sugli assi reali a quali radici del polinomio il metodo fa tendere la stima iniziale. Infatti, nonostante si possa pensare che ogni stima tenda sempre di più allo zero più vicino, come succedeva nelle funzioni reali in cui il metodo poteva far oscillare l’approssimazione varie volte sull’asse delle ascisse prima di iniziare a tendere ad uno zero, può succedere che alcune stime iniziali nel piano complesso tardino a fornire una buona approssimazione della radice, muovendosi apparentemente senza criterio per il piano, senza che sia prevedibile a priori lo specifico zero a cui tenderà.

A questo punto, grazie alla tecnologia moderna estremamente efficiente, è possibile visualizzare l’andamento delle stime iniziali considerando tutti i punti del piano contemporaneamente, applicando a tutti i punti il metodo di Newton svariate volte e vedere dopo tot iterazioni a quale radice del polinomio finiscono più vicini, e colorarli di colore diverso in base allo zero.

Applicandolo con la risoluzione migliore possibile, ovvero una stima per ogni pixel, diventa possibile apprezzare uno schema di colori davvero particolare, e decisamente inaspettato.

Infatti, i dettagli di quest’immagine non hanno fine, e qualsiasi risoluzione sarebbe comunque insufficiente per mostrare tutto.

Ciò è a tutti gli effetti una particolarità sorprendente: significa che spostare la stima iniziale anche di solo un miliardesimo o meno in una qualsiasi direzione potrebbe cambiare completamente il valore a cui tendono le iterazioni attraverso il metodo di Newton, risultando pertanto in una estrema imprevedibilità dell’algoritmo in questione. Soprattutto in una situazione realistica in cui non si conoscono inizialmente gli zeri del polinomio, come invece nell’algoritmo che genera queste immagini colorate sono noti fin dall’inizio, essendo il polinomio definito in quel caso proprio come il prodotto dei vari fattori irriducibili.

Questa è esattamente la proprietà di ruvidità che il frattale rispetta, il confine di ogni colore è esattamente lo stesso. Ciò significa che, se un punto appartiene al confine, preso un intorno di quel punto, non importa quanto piccolo, i punti di questo intorno tenderanno attraverso l’algoritmo a tutte le possibili radici del polinomio (tutti i colori hanno quel punto nel confine), altrimenti, prendendo un punto non parte del confine, prima o poi si troverà un intorno sufficientemente piccolo da includere punti di un solo colore. Non è pertanto possibile una via di mezzo: o tutti i colori sono compresi nell’intorno o solo uno.

In particolare, scegliendo due punti sufficientemente vicini che vanno a due radici diverse, iterando qualche volta quell’intorno di punti, si vedrà come ad un certo punto l’insieme di punti sembrerà esplodere e questi si spargeranno tutti, e a quel punto sembrerà più sensato che quell’intorno catturi tutti gli zeri del polinomio.

Questa proprietà di esplosione sembra decisamente caotica ed è proprio per questo che è molto studiata oggi in alcune particolari aree della matematica che si occupano di frattali e non solo, dato che queste caratteristiche di complessa imprevedibilità interessano svariati altri settori come crittografia e lo studio dei sistemi complessi.

5. Esempi, Figure e Conclusioni

Richiamando il problema dei fogli del paragrafo 1. ad esempio, quest’immagine può rappresentare una soluzione: è il frattale di Newton per f(z)=z³-1.

In questo caso, come spesso si usa fare, oltre a colorare di colori diversi le regioni che portano ad una radice diversa, si usano anche differenti sfumature del colore per indicare la velocità di convergenza: la tonalità è più chiara per le stime che forniscono una buona approssimazione più velocemente, con meno iterazioni del metodo.

Ci sono inoltre, nonostante non siano stati menzionati finora in questo articolo, casi in cui il frattale lascia degli spazi vuoti, zone che non convergono ad alcuno zero del polinomio, in cui tutte le stime abbastanza vicine a quei particolari punti di attrazione convergono a quel punto invece che agli zeri del polinomio quando iterate con il metodo di Newton.

Ad esempio, la funzione f(z)=z³-2z+2:

Con ogni polinomio si ottiene un frattale differente, per questo può essere affascinante sperimentare colori e funzioni diverse, anche non necessariamente polinomiali. Ecco altre figure: