Frattali ed Economia

“Nell’estate del 1998, l’improbabile si realizzò.

Il mercato al rialzo degli anni ’90 crollò: la Russia stava correndo il rischio di insolvenza, le obbligazioni bancarie crollarono di un terzo rispetto al valore usuale rispetto ai titoli di stato. Il 4 agosto, l’indice Dow Jones diminuì del 3,5%, tre settimane più tardi del 4,4%, il 31 agosto del 6,8%. Subentrò il panico, irrazionale e imprevedibile; fu «il culmine di una catastrofe», come dissero gli analisti. In base alle concezioni tradizionali, tutto ciò che accadde l’agosto 1998, molto semplicemente, non si sarebbe mai dovuto verificare: la sequenza di eventi era talmente improbabile da essere impossibile. In base alla stima delle teorie standard, la probabilità del collasso finale del 31 agosto è pari a 1 su 20 milioni, dunque anche operando in borsa tutti i giorni per 100000 anni non si dovrebbe assistere ad un evento simile. La probabilità di avere tre crolli del genere nello stesso mese è di 1 su 500 miliardi. Il 1998 è stato veramente il caso eccezionale, il massimo della sfortuna?”

La geometria frattale è da diverso tempo applicata in molti ambiti, con scopi e risultati profondamente differenti. Senza dubbio, un caso interessante è quello della finanza, in cui i frattali sono stati utilizzati così tanto da aver dato il nome ad un vero e proprio settore, ovvero quello della finanza frattale. L’inventore dei frattali, Benoit Mandelbrot, compì importanti studi sull’economia e sui mercati, fino a pubblicare “Il disordine dei mercati”, opera controversa poiché demoliva i principi fondamentali dell’economia classica e prevedeva una crisi finanziaria insostenibile dalle banche, come quella verificatasi nel 2007/2008.
Lo scritto di Mandelbrot scatenò molti apprezzamenti ma anche numerose critiche all’uscita e venne abbandonato dopo l’affermazione della finanza classica nella seconda metà del Novecento.
Un nuovo interesse per le teorie del matematico francese scaturì dalla crisi di Wall Street del 1987 e da quella asiatica di fine anni Novanta, che non potevano essere spiegate dal modello dell’economia classica.

Al contrario di quanto si possa pensare, per Mandelbrot l’economia era importante tanto quanto la matematica, infatti egli mise in discussione le basi dell’economia classica sin dagli anni sessanta, quando il termine “frattale” non era ancora stato coniato. In particolare, Mandelbrot sosteneva che i rischi e gli eventi considerati dall’economia classica talmente improbabili da essere impossibili e impronosticabili potessero in realtà essere inclusi nella previsione dell’andamento dei mercati.

Secondo l’economia classica, i mercati presentano un comportamento simile a quello che si può avere giocando a testa o croce nel lanciare una moneta: il singolo evento non è prevedibile, ma l’andamento medio su tempi lunghi segue il modello della curva di Gauss.
Mandelbrot dimostrò invece che l’andamento dei mercati presenta una casualità mai prevedibile del tutto.

Lo studioso affermava quindi che l’andamento medio dei mercati non seguiva il classico modello della curva a campana di Gauss, bensì una casualità “selvaggia” perché difficilmente prevedibile su base statistica. Una delle differenze più evidenti tra la teoria economica classica e quella di Mandelbrot è che il primo modello sostiene che la probabilità di uno scostamento dalla media sia inversamente proporzionale alla sua entità, quindi è impossibile che si verifichino crisi finanziarie di enorme entità, mentre la formula di Benoit Mandelbrot prevede che la probabilità di un evento diminuisca solo fino a una soglia critica, sotto la quale la sua discesa rallenta fino quasi a fermarsi, il che significa che possono verificarsi crisi finanziarie di qualsiasi entità.

Si è adottata la curva a campana per comodità matematica, non per realismo. Questo modello va bene ad esempio per l’altezza perché si può trascurare la possibilità che un individuo sia alto un chilometro, ma in economia gli eccessi non sono mai del tutto esclusi. Basti pensare al crollo della moneta tedesca da quattro a quattro miliardi di marchi per un dollaro. È risaputo che è un modello errato, eppure viene ancora insegnato. Sesto Empirico criticò la fiducia cieca nei dogmi delle scienze invocando uno studio empirico, ci sono voluti 13 secoli per capire che aveva ragione. Ciò non è ancora accaduto in economia. Secondo la geometria frattale, in molti fenomeni naturali parti più piccole somigliano al tutto: le venature di una foglia somigliano ad alberi in miniatura, così come le rocce somigliano a montagne in miniatura. Anche in economia il rapporto fra parti e insieme è spesso retto da una legge detta di potenza. (teorizzata da Vilfredo Pareto). Tale legge è valida per la distribuzione della ricchezza: il numero degli individui con un patrimonio superiore a 200 milioni è un quarto di quelli con un patrimonio di 100 milioni, gli individui che possiedono 2 miliardi sono un quarto di quelli che ne possiedono uno solo.
Ciò significa che la probabilità di un calo quotidiano o settimanale superiore al 20% può essere previsto dalla frequenza dei cali superiori al 10%, e lo stesso vale per un calo del 10% rispetto a uno del 5%. Per un confronto diretto fra i due modelli:

Esempio di grafico con curva di Gauss

Nel caso dell’altezza la media è attorno ai 165 cm e gran parte delle persone si posizioneranno a non troppi centimetri di distanza; la deviazione standard misura lo scostamento delle osservazioni dalla media (l’indicatore della volatilità della distribuzione). Altri esempi di variabili con distribuzione a campana sono la temperatura, il peso, i risultati dei test etc.

Esempio di grafico che segue la leggi di potenza

Come si evince dal grafico (esempio di distribuzione della ricchezza), le leggi di potenza sono caratterizzate da un livello di disuguaglianza molto pronunciato: gli eventi estremi sono più probabili rispetto alle distribuzioni gaussiane. Ciò deriva dal principio di scalabilità. Le distribuzioni a campana hanno una scala predefinita (nel grafico precedente il range 65-265 cm per l’altezza), secondo la quale le probabilità di eventi estremi si riducono esponenzialmente fino ad annullarsi; al contrario nelle distribuzioni che seguono una power law le probabilità che un evento estremo diventi ancora più estremo rimangono invariate.

Altre leggi fondamentali della finanza frattale sono la discontinuità dei prezzi, ovvero il loro cambiamento improvviso, e la dipendenza a lungo termine delle variazioni dei prezzi, da cui questo modello prende il nome di finanza “frattale”. Infatti, la proprietà appena descritta implica che siano presenti nei grafici dei trend evolutivi ben definiti che si ripetono (esattamente come avviene nella geometria frattale) che però sono imprevedibili (cioè non possiamo sapere esattamente quando accadranno) a causa della discontinuità dell’andamento del mercato. Un esempio di discontinuità nella vita reale può essere quello di uno Stato dove sono presenti dieci negozi di scarpe, vendute tutte a 100 euro. Se per qualsiasi motivo lo Stato innalza le tasse del 5% e più del 50% degli abitanti prima avevano un salario appena necessario a comprare un paio di scarpe, l’innalzamento della pressione fiscale causerà il fallimento di numerosi negozi di scarpe per un motivo di discontinuità molto semplice: il cittadino che possedeva prima i soldi necessari e ora, ipotizziamo, 90 euro, non potrà acquistare il 90% delle scarpe con quella somma. Da qui le variazioni non continue a cui sono soggetti i mercati secondo Mandelbrot.

Quindi il mercato non è totalmente imprevedibile perché si possono considerare anche quegli accadimenti esterni molto rari che influenzano pesantemente l’economia (guerre, carestie, disastri naturali ecc.).

A questo punto la domanda da porsi è se sia corretto trascurare la possibilità, seppur infinitesima, che un evento accada.

Secondo la teoria dei frattali, no.

Eventi come il crollo di Wall Street del 1929 e gli infausti accadimenti del 1998, in accordo con i modelli dell’economia classica, erano talmente improbabili da essere considerati come impossibili, o quantomeno impronosticabili.

Eppure sono accaduti. Questo, secondo la teoria frattale, significa che la finanza tradizionale è in errore. Nonostante lo stesso Mandelbrot ammise che nulla si può prevedere con precisione, l’obiettivo della sua teoria fu e rimane quello di studiare il rischio: uno studio approfondito di questo può offrire una nuova comprensione dell’andamento del mercato. Ammettendo dunque che anche nel caos si possa trovare un certo ordine e dunque una, seppur minima, prevedibilità, nella sua opera precisa che “…la teoria finanziaria ha bisogno di pragmatismo e, come nel giuramento di Ippocrate, non deve nuocere”.

Facendo un esempio concreto, ad oggi, la guerra in Ucraina può rappresentare quell’elemento impronosticabile che ha ribaltato completamente i rapporti geopolitici ed economici del pianeta.

Il conflitto non ha solo segnato una profonda frattura tra Russia e Occidente, ma ha minato nuovamente la già fragile stabilità dei mercati.

Nelle prime settimane di guerra, tutte le principali borse mondiali hanno registrato perdite a doppia cifra. Il contraccolpo è stato forte soprattutto in Europa: dal 24 febbraio all’8 marzo, il principale listino di Milano aveva perso il 14,6%, quello di Francoforte il 14%, quello di Parigi il 12% mentre Londra aveva registrato perdite più contenute ma comunque nell’ordine dei 7 punti percentuali.

In pratica, nel giro di 14 giorni tutti i principali mercati borsistici internazionali sono tornati sui minimi di due anni prima, annullando di fatto tutto il tentativo di recupero dalla crisi pandemica.

L’impatto immediato del conflitto è stato una crescita esponenziale dei prezzi del grano e del mais, i cui principali produttori sono proprio Ucraina e Russia, che hanno toccato picchi di quasi il 40%, e una grave crisi energetica in Europa dovuta al blocco del gas russo, che ha contribuito all’aumento dell’inflazione.

Lo shock inflattivo ha colpito in maniera diffusa l’economia globale, causando un rincaro generale delle commodities, dapprima in forte ripartenza dopo le riaperture post-covid, e poi in netto calo a seguito del rialzo dei prezzi.

Oggi, a distanza di più di un anno dall’inizio del conflitto, l’inflazione nell’eurozona è ancora all’ 8,6% (ben lontana dall’obiettivo del 2%) e continua a condizionare l’andamento dei mercati aumentando la volatilità di azioni e obbligazioni.

Mandelbrot non fu l’unico a ricorrere ai frattali: già anni prima, Ralph Nelson Elliott parlava della ricorrenza di otto “onde” (dette Onde di Elliott) nei mercati, suddivise in cinque onde impulsive e tre onde correttive. Le prime sono numerate da 1 a 5 e sono a loro volta composte da cinque sotto-onde ognuna, le seconde invece vanno da A a C e sono formate da tre sotto-onde ciascuna secondo un andamento che presenta ben otto cicli: dal Grand Supercycle (che dura tra i 200 e i 250 anni) al Sub-Minuette (da tre ore ad un giorno). Questa struttura reiterata ricorrente nel grafico dell’onda è tipicamente frattale: nell’immagine possiamo osservare che: all’interno delle sotto-onde 1 e 2 dell’onda impulsiva si replica l’andamento dell’intero ciclo; nelle sotto-onde A e B dell’onda correttiva avviene lo stesso con l’unica differenza che, considerando che le sotto-onde seguono l’andamento generale dell’onda in cui sono contenute, le cinque onde impulsive in questo caso abbasseranno il prezzo mentre le tre onde correttive lo alzeranno. Effettivamente questo schema (o più specificatamente sistema statistico frequenziale) è stato riscontrato in molti mercati, tuttavia è molto difficile da sfruttare poiché non è semplice comprendere l’onda nella quale ci si trova. Particolarmente interessante è comprendere l’analisi psicologica presente in ogni ciclo, che ancora oggi è valida ed è una delle pietre miliari dell’analisi dei mercati finanziari: la prima onda corrisponde al primissimo avvicinamento dubbioso alle azioni, la quinta all’euforia generale con il titolo che fa le fortune di tutti gli azionisti, infine l’ottava onda è quella della svendita dei titoli nel panico generale.